엔트로피는 왜 증가할까. 카르노 사이클

0. 소개

지난 포스트에 효율에 대해서 정의했고 효율이 왜 그렇게 정의되었는지 알아보았다. 이번에는 Pv선도를 이용해서 가장 계산하기 쉽다는 카르노 사이클에 대한 효율을 구해볼 것이다.

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1. 카르노 사이클

카르노 사이클은 위의 그림처럼 생긴 사이클이다. 효율 포스트에서도 얘기했듯이 다음과 같은 과정으로 구성된다.

- 1->2: 등온팽창: 등온과정이므로 받은 열량은 일과 같다.
- 2->3: 단열팽창: 단열과정이므로 받은 열량은 0이다.
- 3->4: 등온압축: 등온과정이므로 방출한 열량은 일과 같다.
- 4->1: 단열압축: 단열과정이므로 받은 열량은 0이다.

우리는 열역학 1법칙에 의해서 일은 받은 열량과 방출한 열량의 차로 구해짐을 알 수 있다. 즉 사이클의 단위질량당 일을 $\Delta w$, 사이클이 받은 단위질량당 열을 $\Delta q_{h}$, 사이클이 방출한 단위질량당 열을 $\Delta q_{l}$이라 하면 $\Delta w = \Delta q_{h} - \Delta q_{l}$이 성립하는 것이다. 따라서 우리에게 중요한 것은 열을 받고 방출하는 과정이 제일 중요하다! 즉 1->2와 3->4처럼 열이 들어오고 나가는 과정만 중요한 것이다. 그럼 1->2의 과정과 3->4의 과정에서 열이 얼마나 방출되고 흡수되는지 알아보자.

- 1->2 등온팽창

$\Delta q_{12}$를 1->2로 진행하며 받은 단위질량당 열, $\Delta w_{12}$를 1->2로 진행하며 한 단위질량당 일이라 정의하자. 1->2로 진행할 때 등온과정이므로 $\Delta q_{12} = \Delta w_{12}$가 성립한다. 이때 $Pv = RT_{1}$이 성립하고 그림에서 초록색 영역이 한 일의 크기이므로

$$\tag{1}\Delta w_{12} = \int_{v_1}^{v_2} {\dfrac{RT_{1}}{v}dv} = RT_{1} \ln{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}} = \Delta q_{12}$$

가 성립한다.

- 3->4 등온압축

부호의 편의를 위해 3->4로 진행되지만 4->3으로 진행하는 것처럼 계산하겠다. 이때 $\Delta q_{43} = -\Delta q_{34}$은 4에서 3으로 사이클이 진행하며 받은 단위질량당 열량이다. 마찬가지로 일 또한 $\Delta w_{43} = -\Delta w_{34}$는 4에서 3으로 사이클이 진행하며 받은 단위질량당 일이고 $\Delta q_{43} = \Delta w_{43}$이 성립한다. 또한 $Pv = RT_{2}$가 성립하므로

$$\tag{2}\Delta w_{43} = \int_{v_4}^{v_3} {\dfrac{RT_{2}}{v}dv} = RT_{2} \ln{\dfrac{v_{3}}{v_{4}}} = \Delta q_{43}$$

이 성립한다.

사이클이 전체로 한 일은

$$\tag{3} \Delta w = \Delta w_{12} + \Delta w_{23} + \Delta w_{34} + \Delta w_{41}$$

이고 전체 사이클이 흡수한 열은, 즉 사이클이 동작하며 증가한 열량은 $q_{12}$만 포함된다. 왜냐하면 1->2로 진행할 때만 열량이 증가하기 때문이다. 따라서 전체 사이클이 받은 열은

$$\tag{4} \Delta q_{h} = \Delta q_{12}$$

이다. 한편 반대로 사이클이 방출한 열은 $q_{34}$만 포함된다. 따라서 전체 방출한 열량은

$$\tag{5} \Delta q_{l} = \Delta q_{43}$$

가 성립한다. 여기서 $\Delta q_{l}$는 양수인 것에 유의하자. 이때 사이클에서의 1법칙에 의해 $\Delta w = \Delta q$가 성립하고 열량의 변화는 $\Delta q = \Delta q_{h} - \Delta q_{l}$이다.

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2. 카르노 사이클 효율

그러면 이제 효율을 계산할 수 있다. 효율을 계산해보면 다음과 같은 값을 갖는다.

$$\tag{6} \eta= \dfrac{\Delta w}{\Delta q_{h}} = \dfrac{RT_{1} \ln{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}} - RT_{2} \ln{\dfrac{v_{3}}{v_{4}}} }{RT_{1} \ln{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}}}$$

여기서 효율을 구하는 게 끝일 수 있겠지만 조금 더 진행해보자. $k$를 비열비라고 할 때 단열과정에서 $Pv^{k} = Tv^{k-1} = const$가 성립한다. 따라서 4->1과정과 2->3과정에서 단열선을 따라 이동하므로 다음이 성립한다는 것이다.

$$\tag{7}T_1 v_{1}^{k-1} = T_2 v_{4}^{k-1}$$
$$\tag{8}T_1 v_{2}^{k-1} = T_2 v_{3}^{k-1}$$

이때 식(8)에서 식(7)을 나눠주면 다음이 성립한다.

$$\tag{9} \dfrac{v_{2}}{v_{1}} = \dfrac{v_{3}}{v_{4}}$$

따라서 식(6)은 다음과 같이 간단하게 요약된다.

$$\tag{10} \eta = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1}$$

이제 카르노 사이클의 효율이 엄청 단순해졌다. 그럼 카르노 사이클의 특징을 찾아보자.

- 사이클의 효율은 무조건 1보다 작다. 자명.
- 카르노 사이클의 효율은 고온과 저온으로 결정된다! $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$와 같은 양들은 효율에 아무런 관여를 하지 않는 것이다. 저온, 고온이 같은 상태에서 아무리 옆으로 덩치를 키워도 효율은 달라지지 않는다.